더 지니어스: 246개의 벽돌 중 가벼운 불량품 1개 찾기

[두뇌 싸움 예능 '더 지니어스' 일반인 출연자 뽑는다길래 응시해 보니]

"246개의 벽돌 중 정상 제품보다 가벼운 불량품 1개가 섞여 있다. 천칭 저울을 이용해 최소 몇 번 만에 불량품을 찾을 수 있는가?"

과연 최소 몇 번일까요?
출처: 조선일보

이 문제의 함정은 저울을 이용하여 무게를 비교 가능한 갯수에 있다. 천칭 저울은 무게의 정확성이 아니라 올려놓은 벽돌간의 상대적인 무게만을 비교할 수 있다. 

상식적으로 저울에는 양쪽으로 1개씩 총 2개를 올려 놓을 수 있다. 당연히 2개만 비교 가능하다고 생각할 수 밖에 없다. 

3개중에 불량품 1개가 섞여 있는 경우를 생각해보자. 벽돌에 각기 1번, 2번, 3번이라고 번호를 붙이고 가능한 비교 조합을 생각해보자.

1번 = 2번 경우 -> 3번이 불량품

1번 > 2번 경우 -> 2번이 불량품

1번 < 2번 경우 -> 1번이 불량품

(문제를 보면 불량품이 가볍다)

이런 방법으로 1번 = 3번 을 비교하고, 2번=3번을 비교해 볼 수 있다. 이 경우에는 최대 1번을 비교해야 무게가 다른 불량 벽돌을 찾아낼 수 있다. 저울에 무게를 달 때 정보량이 2가 아니라 3이라 점을 알 수 있다. 저울이 주는 상징인 양쪽(=2)라는 느낌에서 옆에 둔 '하나' 라는 개념을 추가하면(=3) 이 문제는 쉽게 풀 수 있다.

위 경우를 천칭 저울을 이용한 비교 "최소 단위"라고 생각하면 어떤 갯수의 벽돌이든지 3으로 나눠가며 줄여가면 된다. 예로 8개라면 다음과 같은 순서가 될 것이다.

집합1- 1,2,3 과 집합2 -4,5,6  비교 (옆에 집합3 -7,8) 

집합1 = 집합2 인 경우 -> 집합3에 불량품

집합1 > 집합2 인 경우 -> 집합2에 불량품

집합1 < 집합2 인 경우 -> 집합1에 불량품

어떤 결과가 나오더라도 최소 단위인 3개로 되었기 때문에 불량 벽돌을 찾을 수 있다. 이 경우는 최대 2번을 비교하면 불량 벽돌을 찾을 수 있다.

이 방법을 일반화시켜 보면 비교 횟수는 3과 관계가 있으며, 그 관계는 3의 거듭 제곱과 관련이 있다.

8개 벽돌인 경우 3^2 > 8 인 관계식이 된다. 즉 밑을 3으로 하는 log3X의 올림값을 구하면 최소 횟수가 나온다.

문제를 풀어보면 올림(3^x) > 246 인 최소값 x를 구하면 된다.

간단한 3의 거듭 제곱표를 보면 x를 쉽게 구한다.

3 ^ 1 = 3

3 ^ 2 = 9

3 ^ 3 = 27

3 ^ 4 = 81

3 ^ 5 = 243

3 ^ 6 = 729

따라서 이 문제의 답은 6번이다.

정보량 3을 생각하면 이 문제는 1분이 된다. 그냥 3을 계속해서 곱하면 답을 쉽게 찾을 수 있다.

이 문제가 만약 무게가 다른 불량품 1개라면 많이 복잡해지려나. 처음 비교를 했을 때 어떤 쪽에 불량품이 있는지 알수가 없다. 머리가 아프다.